\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\setstretch{1.2} 
\setlength{\parindent}{0.8cm}
\geometry{left=3cm,right=3cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm}

\title{\vspace{-2cm} \textbf{数学分析}}

\author{ZL}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\section{集合与映射}
\subsection{集合}

\subsection{映射与函数}
\section{数列极限}
\subsection{实数系的连续性}
\textbf{定理2.1.1 （确界存在定理——实数系连续性定理）} 非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界。\\
\textbf{Proof}\\
\textbf{定理2.1.2 } 非空有界数集的上（下）确界是唯一的。\\
\textbf{定理 （Dedekind 切割定理）} 设$\hat{A}$、$\hat{B}$是实数集$R$的一个切割，则$\hat{A}$有最大数或$\hat{B}$有最小数。\\

\subsection{数列极限}
数列：$\{x_n \}$，$x_n$是通项。\\
\textbf{定义2.2.1 } 设$\{x_n\}$是一给定数列，$a$是一个实常数。如果对于任意给定的$\varepsilon > 0$，可以找到正整数$N$，使得当$n > N$时，成立
$$|x_n - a| < \varepsilon$$
则称数列$\{x_n\}$收敛于$a$（或$a$是数列$\{x_n\}$的极限），记为
$$lim_{n \to \infty}x_n = a$$,
有时也记为
$$x_n \to a (n \to \infty)$$
如果不存在实数$a$，使$\{x_n\}$收敛于$a$，则称数列$\{x_n\}$发散。\\
$$lim_{n \to \infty}x_n = a \iff \forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n > N: |x_n - a| < \varepsilon$$.
\textbf{数列极限的性质}\\
(1) 极限的唯一性\\
\textbf{定理2.2.1} 收敛数列的极限必唯一。\\
(2) 数列的有界性\\
\textbf{定理2.2.2} 收敛数列必有界。\\
(3) 数列的保序性\\
\textbf{定理2.2.3} 设数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$均收敛，若$lim_{n \to \infty}x_n = a$，$lim_{n \to \infty}y_n = b$，且$a < b$，则存在正整数$N$，当$n > N$时，成立
$$x_n < y_n.$$\\
\textbf{(3) 推论}\\
  (1) 若$lim_{n \to \infty}y_n = b > 0$，则存在正整数$N$，当$n > N$时，
$$y_n > \frac{b}{2} > 0;$$\\
  (2) 若$lim_{n \to \infty}y_n = b < 0$，则存在正整数$N$，当$n > N$时，
$$y_n < \frac{b}{2} < 0.$$\\
(4) 极限的夹逼性\\
\textbf{定理2.2.4} 若三个数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$，$\{z_n\}$从某项开始成立
$$x_n \le y_n \le z_n, n > N_0,$$
且$lim_{n \to \infty}x_n = lim_{n \to \infty}z_n = a$，则$lim_{n \to \infty}y_n = a$。\\
\textbf{数列极限的四则运算}\\
\textbf{定理2.2.5} 设$lim_{n \to \infty}x_n = a$，$lim_{n \to \infty}y_n = b$，则\\
(1) $lim_{n \to \infty}(\alpha*x_n + \beta*y_n) = \alpha*a + \beta*b$ （$\alpha, \beta$是常数）;\\
(2) $lim_{n \to \infty}(x_n*y_n) = \alpha*a + \beta*b$;\\
(3) $lim_{n \to \infty}(\dfrac{x_n}{y_n}) = \dfrac{a}{b}$ （$b != 0$）.\\

\subsection{无穷大量}
\textbf{定义2.3.1} 若对任意给定的$G > 0$，可以找到正整数$N$，使得当$n > N$时成立
$$|x_n| > G,$$
则称数列$\{x_n\}$是无穷大量，记为
$$lim_{n \to \infty}x_n = \infty.$$\\
无穷大量与无穷小量的关系：\\
\textbf{定理2.3.1} 设$x \ne 0$，则$\{x_n\}$是无穷大量的充分必要条件是${\frac{1}{x_n}}$是无穷小量。\\
\textbf{定理2.3.2} 设$\{x_n\}$是无穷大量，若当$n > N$时，$|y_n| \ge \delta > 0$成立，则$\{x_ny_n\}$是无穷大量。\\
\textbf{推论} 设$\{x_n\}$是无穷大量，$lim_{n \to \infty}y_n = b \ne 0$，则$|x_ny_n|$与$\{\frac{x_n}{y_n}\}$都是无穷大量。\\
\textbf{待定型}: $\infty \pm \infty, 0*\infty, \dfrac{0}{0}, \dfrac{\infty}{\infty}$\\
\textbf{定义2.3.2} 如果数列$\{x_n\}$满足
$$x_n \le(\ge) x_{n+1}, \ n = 1, 2, 3, ...$$
则称$\{x_n\}$为单调增加（减少）数列;若进一步满足
$$x_n <(>) x_{n+1}, \ n = 1, 2, 3, ...$$
则称$\{x_n\}$为严格单调增加（减少）数列。\\
\textbf{定理2.3.3(Stolz定理)}设是严格单调增加的正无穷大量，且
$$lim_{n \to \infty}\dfrac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}} = a \ (a \in (-\infty, +\infty))$$
则
$$lim_{n \to \infty}\dfrac{x_n}{y_n} = a.$$\\
\subsection{收敛准则}
\textbf{定理2.4.1} 单调有界数列必定收敛。\\
\textbf{$\pi$}: $L_n = lim_{n \to \infty}n*sin\dfrac{180'}{n} = \pi \iff lim_{n \to \infty}\dfrac{sin\dfrac{\pi}{n}}{\dfrac{\pi}{n}} = 1$\\
\textbf{e}: $lim_{n \to \infty}(1 + \dfrac{1}{n})^n = lim_{n \to \infty}(1 + \dfrac{1}{n})^{n+1} = e.$\\
讨论$a_n = \sum \dfrac{1}{n^p}$ $p > 0$\\
1. $p > 1$时，$\{a_n\}$收敛;\\
2. $0 < p \le 1$时，$\{a_n\}$是正无穷大量。\\
\textbf{Euler常数}: $lim_{n \to \infty}(\sum_{i = 1}^{n}\dfrac{1}{i} - ln\ n) = \gamma = 0.57721566490....$\\
$$lim_{n \to \infty} \sum_{i = n+1}^{2n}\dfrac{1}{i} = ln \ 2$$
$$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n}(-1)^{i+1}\dfrac{1}{i} = ln \ 2$$
\textbf{定义2.4.1} 如果一列闭区间满足条件\\
(1)$[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n], n = 1, 2, 3, ...$;\\
(2)$lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0$,\\
则称这列闭区间形成一个闭区间套。\\
\textbf{定理2.4.2（闭区间套定理）} 如果$\{[a_n, b_n]\}$形成一个闭区间套，则存在惟一的实数$\xi$属于所有的闭区间$[a_n, b_n]$，且$\xi = lim_{n \to \infty}a_n = lim_{n \to \infty}b_n$。\\
\textbf{定理2.4.3} 实数集R是不可列集。\\
\textbf{定义2.4.2} 设$\{x_n\}$是一个数列，而
$$n_1 < n_2 < ... < n_k < n_{k+1} < ...$$
是一列严格单调增加的正整数，则
$$x_{n_1}, x_{n_2}, ..., x_{n_k}, ...$$
也形成一个数列，称为数列$\{x_n\}$的子列，记为$\{x_{n_k}\}$。\\
\textbf{定理2.4.4} 若数列$\{x_n\}$收敛于$a$，则它的任何子列$\{x_{n_k}\}$也收敛于$a$，即
$$lim_{n \to \infty}x_n = a \Rightarrow lim_{n \to \infty}x_{n_k} = a.$$\\
\textbf{推论} 若存在数列$\{x_n\}$的两个子列$\{x_{n_k}^{(1)}\}$与$\{x_{n_k}^{(2)}\}$，分别收敛于不同的极限，则数列$\{x_n\}$必定发散。\\
\textbf{定理2.4.5（Bolzano-Weierstrass定理）} 有界数列必有收敛子列。\\
\textbf{定理2.4.6} 若$\{x_n\}$是一个无界数列，则存在子列$\{x_{n_k}\}$，使得
$$lim_{n \to \infty}x_{n_k} = \infty.$$\\
\textbf{定义2.4.3} 如果数列$\{x_n\}$具有以下特征：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N$，使得当$n, m > N$时成立
$$|x_n - x_m| < \varepsilon,$$
则称数列$\{x_n\}$是一个基本数列。\\
\textbf{定理2.4.7（Cauchy收敛原理）} 数列$\{x_n\}$收敛的充分必要条件是：$\{x_n\}$是基本数列。\\
\textbf{定理2.4.8} 实数系的完备性等价于实数系的连续性。\\
\section{函数极限与连续函数}
\subsection{函数极限}
\textbf{定义3.1.1} 设函数$y = f(x)$在点$x_0$的某个去心邻域中有定义，即存在$\rho > 0$，使
$$O(x_0, \rho) \setminus \{x_0\} \subset D_{f}.$$
如果存在实数$A$，对于任意给定的$\varepsilon > 0$，可以找到$\delta > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，成立
$$|f(x) - A| < \varepsilon ,$$
则称$A$是函数$f(x)$在点$x_0$的极限，记为
$$limt_{x \to x_0}f(x) = A, or \  f(x) \to A(x \to x_0).$$
如果不存在具有上述性质的实数，则称函数在点的极限不存在。\\
\textbf{函数极限的性质}\\
(1) 极限的唯一性\\
\textbf{定理3.1.1} 设$A$与$B$都是函数$f(x)$在点$x_0$的极限，则$A = B$。\\
(2) 局部保序性\\
\textbf{定理3.1.2} 若$limt_{x \to x_0}f(x) = A$，$limt_{x \to x_0}g(x) = B$，且$A > B$，则存在$\delta > 0$，当$0 < |x - x_0| < \delta$时，成立
$$f(x) > g(x).$$\\
\textbf{推论1} 若$limt_{x \to x_0}f(x) = A \ne 0$，则存在$\delta > 0$，当$0 < |x - x_0| < \delta$时，成立
$$|f(x)| > \dfrac{|A|}{2}.$$\\
\textbf{推论2} 若$limt_{x \to x_0}f(x) = A$，$limt_{x \to x_0}g(x) = B$，且存在$r > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < r$时，成立$g(x) \le f(x)$，则
$$B \le A.$$\\
\textbf{推论3（局部有界性）} 若$limt_{x \to x_0}f(x) = A$，则存在$\delta > 0$，使得$f(x)$在$O(x_0, \delta) \setminus \{x_0\}$中有界。\\
(3) 夹逼性\\
\textbf{定理3.1.3} 若存在$r > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < r$时，成立
$$g(x) \le f(x) \le h(x),$$
且$limt_{x \to x_0}g(x) = limt_{x \to x_0}h(x) = A$，则$limt_{x \to x_0}f(x) = A$。\\
\textbf{函数极限的四则运算}\\
\textbf{定理3.1.4} 设$limt_{x \to x_0}f(x) = A$，$limt_{x \to x_0}g(x) = B$，则\\
(1) $limt_{x \to x_0}(\alpha*f(x) + \beta*g(x)) = \alpha*A + \beta*B$ ($\alpha, \beta$是常数);\\
(2) $limt_{x \to x_0}(f(x)*g(x)) = A*B$;\\
(3) $limt_{x \to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}$ $B \ne 0$.\\
\textbf{定理3.1.5（Heine定理）} $limt_{x \to x_0}f(x) = A$的充分必要条件是：对于任意满足条件$limt_{n \to \infty}x_n = x_0$，且$x_n \ne x_0$的数列$\{x_n\}$，相应的函数值数列$\{f(x_n)\}$成立
$$limt_{x \to x_0}f(x_0) = A.$$\\
\textbf{定理3.1.5'} $limt_{x \to x_0}f(x)$存在的充分必要条件是：对于任意满足条件$limt_{n \to \infty}x_n = x_0$，且$x_n \ne x_0$的数列$\{x_n\}$，相应的函数值数列$\{f(x_n)\}$收敛。\\
\textbf{定义3.1.2} 设$f(x)$在$(x_0 - \rho, x_0)$有定义($\rho > 0$)。如果存在实数$B$，对于任意给定的$\varepsilon > 0$，可以找到$\delta > 0$，使得当$-\delta < x - x_0 < 0$时，成立
$$|f(x) - B| < \varepsilon,$$
则称$B$是函数$f(x)$在点$x_0$的左极限，记为
$$limt_{x \to x_0-}f(x) = f(x_0-) = B.$$
类似的，如果$f(x)$在$(x_0, x_0 + \rho)$有定义($\rho > 0$)。并且存在实数$C$，对于任意给定的$\varepsilon > 0$，可以找到$\delta > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，成立
$$|f(x) - C| < \varepsilon,$$
则$C$称是函数$f(x)$在点$x_0$的右极限，记为
$$limt_{x \to x_0+}f(x) = f(x_0+) = C.$$
显然，函数$f(x)$在$x_0$极限存在的充分必要条件是$f(x)$在$x_0$的左极限与右极限存在且相等：
$$limt_{x \to x_0} = A \iff limt_{x \to x_0-}f(x) = limt_{x \to x_0+}f(x) = A.$$\\
\textbf{定理3.1.6} 函数极限$limt_{x \to \infty}f(x)$存在而且有限的充分必要条件是：对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$X > 0$，使得对一切$x', x'' > X$，成立
$$|f(x') - f(x'')| < \varepsilon.$$\\
\subsection{连续函数}
\textbf{定义3.2.1} 设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域中有定义，并且成立
$$limt_{x \to x_0}f(x) = f(x_0),$$
则称函数$f(x)$在点$x_0$连续，而称$x_0$是函数$f(x)$的连续点。
$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x(|x - x_0| < \delta): |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon.$$\\
\textbf{定义3.2.2} 若函数$f(x)$在区间$(a,b)$的每一点都连续，则称函数$f(x)$在开区间$(a,b)$上连续。\\
\textbf{定义3.2.3} 若$limt_{x \to x_0-}f(x) = f(x_0)$，则称函数$f(x)$在$x_0$左连续;若$limt_{x \to x_0+}f(x) = f(x_0)$，则称函数$f(x)$在$x_0$右连续。\\
\textbf{定义3.2.4} 若$f(x)$在$(a, b)$连续，且在左端点$a$右连续，在右端点$b$左连续，则称函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续。\\
\textbf{连续函数的四则运算}\\
设$limt_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$，$limt_{x \to x_0}g(x) = g(x_0)$，则\\
(1) $limt_{x \to x_0}(\alpha*f(x) + \beta*g(x)) = \alpha*f(x_0) + \beta*g(x_0)$, ($\alpha, \beta$是常数);\\
(2) $limt_{x \to x_0}(f(x)*g(x)) = f(x_0)*g(x_0)$;\\
(3) $limt_{x \to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)}$, ($g(x_0) \ne 0$).\\
\textbf{不连续点类型}\\
\textbf{第一类不连续点} 函数$f(x)$在点$x_0$的左右极限都存在但不相等，即$f(x_0+) \ne f(x_0-)$。\\
\textbf{第二类不连续点} 函数$f(x)$在点$x_0$的左右极限中至少有一个不存在。\\
\textbf{第三类不连续点} 函数$f(x)$在点$x_0$的左右极限都存在而且相等，但不等于$f(x_0)$或者$f(x)$在点$x_0$无定义。\\
\textbf{定理3.2.1（反函数存在性定理）} 若函数$y = f(x)$，$x \in D_f$是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数$x = f^{-1}(y)$，$y \in R_f$，并且$f^{-1}(y)$也是严格单调增加（减少）的。\\
\textbf{定理3.2.2（反函数连续性定理）} 设函数$y = f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续且严格单调增加，$f(a) = \alpha$，$f(b) = \beta$，则它的反函数$x = f^{-1}(y)$在$[\alpha, \beta]$连续且严格单调增加。\\
\textbf{定理3.2.3} 若$u = g(x)$在点$x_0$连续，$g(x_0) = u_0$，又$y = f(u)$在点$u_0$连续，则复合函数$y = f \circ g(x)$在点$x_0$连续。\\
\textbf{定理3.2.4} 一切初等函数在其定义区间上连续。\\
\subsection{无穷小量与无穷大量的阶}
\textbf{定义3.3.1} 若$limt_{x \to x_0}f(x) = 0$，则称当$x \to x_0$时$f(x)$是无穷小量。\\
设$u(x),v(x)$是两个变量，当$x \to x_0$时，它们都是无穷小量，为了比较两者趋于零的速度快慢，我们讨论$\dfrac{u(x)}{v(x)}$的极限情况\\
(1) 若，则表示当时，趋于零的速度比快。我们称当时，关于是高阶无穷小量（或关于是低阶无穷小量），记为
\\
(2) 若存在，当在的某个去心邻域中，成立
则称当时，是有界量，记为
若又存在，当在的某个去心邻域中，成立
则称当时，是同阶无穷小量。\\
(3) 若\\
\subsection{闭区间上的连续函数}
\end{document}
